1. Úvod                     2. Řešení Úloh                     3. Prostorové úlohy                     4. Další                     5. Zdroje
        4.1 Soddy circles               4.4 Packing               4.5 Umění               4.6 Mascheroniovské konstrukce
Nyní uvedem několik témat, které souvisí s apolloniovými úlohami a nebo se vnich využívá poznatků, získaných při řešení apolloniových úloh.

SODDY CIRCLES

Uvažujme speciální případ úlohy kkk, kdy se zadané kružnice po dvou dotýkají. Použijeme foucheovo řešení, které je v tomto případě velice jednoduché. Podle věty 9 sestrojíme středy stejnolehlosti a osu podobnosti. Potenční střed leží na tečnách kružnic vedených body, ve kterých se kružnice dotýkají a hledané polára je tedy spojnice bodů inversně sdružených. Bod Q je totožný se středem stejnolehlosti. Nyní už postupujeme stejně jako v obecném případě.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.1

Je vidět, že úloha má právě dvě řešení - vnější soddyho kružnice má se zadanými kružnicemi vnitřní dotyk, vnitřní soddyho kružnice má se zadnými kružnicemi vnější dotyk. Při použití ostatních os podobnosti leží bod Q na bodech dotyku zadaných kružnic a je totožný s dotykovými bodo což nevede k žádnému řešení. Všiměme si, že úloha je jednoznačně zadána polohou bodů O1, O2, O3.
Roku 1936 odvodil Frederick Soddy vztah, pro výpočet křivosti k = 1/r výsledné kružnice m.

kde ki = 1 / ri jsou křivosti zadaných kružnic. Po úpravě dostáváme pro k vztah

Dosadíme-li před odmocninu + resp. - dostaneme křivost menší resp. větší kružnice.
Uvažujme ještě speciální případ, kdy jednu kružnici nahradíme přímkou.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.2

Křivost přímky je rovna nule a po dosazení do vzorce dostáváme

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.3

Poku použijem vnitřní soddyho kružnici jako výchozí a sestrojíme další soddyho kružnice, které opět použijeme jako kružnice výchozí, pak po nekonečně mnoha opakováních získéme fraktál [10], viz následující obrázek.

                                               Obr. 4.4

Existuje mnoho různých modifikací tohoto fraktálu, jednu z nich zobrazuje následující obrázek.

                                                           Obr. 4.5


Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská