1. Úvod                      2. Řešení Úloh                      3. Prostorové úlohy                      4. Další                      5. Zdroje
      2.1 Gergonnovo            2.2 Fouchéovo            2.3 Kruhovou inverzí            2.4 Dilatace            2.5 Analytické
DILATACE

I když dilatace není přímo metoda řešení Apolloniových úloh, je často používaná a může nám občas zjednodušit práci, zvláště v případě kdy chceme sestrojit jen jedno nebo dvě konkrétní řešení.
Pojem dilatace neubudeme přesně definovat. Zvolme libovolně konstantu q, dilatace je transformace, která zvětšuje, nebo zmenšuje poloměr kružnic o q a posouvá dané přímky o q ve směru k nim kolmém. Zde je důležité chápat bod jako kružnici s nulovým poloměrem, při dilataci může dojít k tomu, že některá kružnice získá záporný poloměr, v takovém případě jen změníme znaménko.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.21

Uvažujme tedy situaci, kdy máme kružnici m, která se dotýká daných tří kružnic k1, k2, k3. Dilatací můžeme kružnici ki přiřadit nulový poloměr, jestli se ostatní kružnice zmenší nebo zvětší záleží na tom, jak se kružnice m kružnic k1 dotýká (vnitřní, vnější dotyk) proto jsme nedefinovali dilataci přesně. Můžeme tedy zadanou úlohu kkk převést na úlohu Bkk, musíme ale vědět, ke kterému řešení chceme dospět a podle toho kružnice dilatovat.

                                                Obr. 2.22

Z obrázku je vidět, že při převedení úlohy kkk na úlohu Bkk dostaneme nejvýše dvě řešení, které odpovídají i původnímu zadání. Jsou to stejné dvojice řešení, které dostaneme při Gergonnově nebo Fouchéově řešení pro zvolenou osu podobnosti, tedy pokud se například jedna výsledná kružnice zadaných dotýká postupně vnitřně, vně, vně pak druhá výsledná kružnice se jich dotýká přesně naopak, tedy postupně vně, vnitřně, vnitřně.
Dilataci můžeme užít i pokud chceme střed výsledné kružnice jen odhadnout, kružnice dilatujeme tak, že jedna za zadaných kružnic bude procházet odhadnutým středem, odhad zopakujeme pro dilatované kružnice. Dostatečné přesnosti dosáhneme zpravidla po třech až čtyřech odhadech, takže tato metoda je rozhodně nejjednodušší a mnohdy i přesnější než přesné konstrukční metody.

Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská