1. Úvod                      2. Řešení Úloh                      3. Prostorové úlohy                      4. Další                      5. Zdroje
      2.1 Gergonnovo            2.2 Fouchéovo            2.3 Kruhovou inverzí            2.4 Dilatace            2.5 Analytické
ŘEŠENÍ FOUCHÉOVO

Možná jste si všimli, že Gerogonnovo řešení nelze použít, jsou-li středy daných kružnic kolineární, neboť potenční střed i všechny póly leží v tomto případě v nekonečnu viz obrázek.

                                         Obr. 2.10

Další způsob, jak řešit Apolloniovu úlohu uvedl francouzský geometr Fouché. Opět uvedeme několik potřebných vět.
Věta 18
Protíná-li kružnice dané dvě kružnice v bodech inversně sdružených, pak je izotomická.
Jde vlastně o zobecnění věty 9.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.11

Je vidět, že vyznačené skupiny úhlů jsou shodné z čehož, ihned věta vyplývá. Stejně zobecníme i větu 12.
Věta 19
Vnější střed stejnolehlosti dvou daných kružnic má ke všem kružnicím izotomickým stejnou mocnost.
Tato věta přímo vyplývá z věty 12, důkaz bychom mohli provést úplně stejným způsobem jako u věty 12.
Přejdeme k rozboru konstrukce. Když zvolíme na zadané kružnici k1 bod N1, na kružnici k2 sestrojíme bod N2 inversně sdružený s bodem N1 a stejně sestrojíme na k3 bod N3 inversně sdružený s bodem N2, pak kružnice m’ určená body N1, N2, N3 protíná zadané kružnice pod stejným úhlem a je tedy izotomická, do množiny těchto izotomických kružnic zřejmě patří i kružnice výsledné .

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.12

Body E12, E23 mají podle věty 19 stejnou mocnost ke všem izotomickým kružnicím m’ a leží tedy na jejich společné chordále, kterou je osa podobnosti o. Sestrojme nyní např. chordálu ch kružnic k2, m’ tato chordála protne osu podobnosti o v bodě Q2 tento bod má zřejmě stejnou mocnost ke kružnici k2 i ke všem kružnicím m’, a proto ním prochází chordála každé kružnice m’ a kružnice k2 a tedy i společná tečna výsledné kružnice m a kružnice k2.
Konstrukce 2
Nejprve sestrojíme osu podobnosti o daných kružnic pak uvedeným způsobem libovolnou kružnici izotomickou a její chordálu s některou ze zadaných kružnic ki, Sestrojíme bod Qi jako průsečík chordály s osou podobnosti o, z bodu Qi vedeme tečny ke kružnici ki, jejich dotykové body nám určí dotykové body výsledných kružnic, pomocí stejnolehlosti pak sestrojíme dotykové body i na zbylých dvou kružnicích k.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.13

Fouchéovo řešení lze použít i pokud jsou kružnice kolineární. Výhodou tohoto řešení je neměnnost konstrukce a jeho spolehlivost, je proto použito v apletu, který zobrazuje všechna řešení úlohy kkk.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.14

Bkk
Při řešení této úlohy je dobré zvolit body N2, N3 inversně sdružené na středné daných kružnic, bod N1 splývá s bodem O1. na ose o, která je zároveň společnou chordálou kružnic m’ dostaneme další bod O4, kterým výsledná kružnice také prochází. Dále postupujeme podle konstrukce 2.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.15

Bpk
Zde opět volíme bod N3 výhodně, aby bod N2 ležel na kolmici ke k2 z bodu O3.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.16

Fouchéovo řešení je při zvláštních případech Bkk, Bpk, BBk nejčastěji používanou konstrukcí.

Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská