1. Úvod                      2. Řešení Úloh                      3. Prostorové úlohy                      4. Další                      5. Zdroje
      2.1 Gergonnovo            2.2 Fouchéovo            2.3 Kruhovou inverzí            2.4 Dilatace            2.5 Analytické
Doposud uvedené konstrukce využívali speciálních vztahů mezi kružnicemi. Kruhová inverze má několik důležitých vlastností, díky kterým často poskytuje velmi elegantní a poměrně snadné řešení Apolloniových úloh, právě proto je metoda využívající kruhovou inverzi asi nejpopulárnější. Kruhová inverze totiž převádí zadané úlohy na úlohy jednoduší, když např. zadané kružnice přejdou v přímky a podobně.


ŘEŠENÍ KRUHOVOU INVERZÍ

Nejprve uvedeme ony důležité vlastnosti kruhové inverze. Zobrazíme-li rovinu pomocí kruhové inverze budeme hovořit o stavu před transformací a o stavu po transformaci.
Věta 20
Mají-li dva útvary (kružnice, přímky, úsečky, oblouky kružnice, body) společný bod různý od středu řídící kružnice pak mají společný bod i po transformaci, pokud dva útvary nemají společný bod, nemají společný bod ani po transformaci.
Důkaz
Stačí si uvědomit, že kruhová inverze je zobrazení vzájemně jednoznačné (bijektivní), tzn. každý bod roviny (kromě středu řídící kružnice) má jednoznačně určený obraz a každý obraz má právě jeden jednoznačně určený vzor.
Můžeme tedy říct, že kruhová inverze zachovává počet společných bodů, z čehož ihned vyplývá další věta.
Věta 21
Dotýkají-li se dva objekty (přímky, kružnice) před transformací, dotýkají se i po transformaci.
Uvedeme ještě jednu vlastnost kruhové inverze, která ale není pro pochopení konstrukcí nezbytná.
Věta 22
Kruhová inverze zachovává, úhel dvou přímek, kružnic i přímky a kružnice.
Důkaz
Nejprve větu dokážeme pro dvě přímky

                                            Obr. 2.17

Z konstrukce transformovaných přímek je zřejmé, že tečny t2, t1 jsou rovnoběžné s přímkami p, q a kružnice p’, q’ tedy svírají stejný úhel jako přímky p, q. V případě dvou kružnic nebo přímky a kružnice uvažujeme úhel tečen ve společných bodech, který se nezmění a tečny zůstanou podle věty 21 tečnami ve společném bodě.
Řešení úlohy kkk pomocí kruhové inverze se liší podle vzájemné polohy kružnic a mnohdy si můžeme ulehčit práci, když chytře zvolíme řídící kružnici. Postupně vyřešíme úlohu kkk pro různé případy, nebudeme ale uvažovat případy triviální, kdy jsou dvě ze zadaných kružnic soustředné takovou úlohu umíme vyřešit pomocí MBDV.
Pokud mají některé ze zadaných kružnic společný bod pak volíme střed řídící kružnice v tomto bodě a její poloměr volíme tak, aby kružnice, která nemá s ostatními společný bod byla samodružná. Transformací převedeme úlohu kkk na úlohu ppk, kterou snadno vyřešíme pomocí stejnolehlosti, tak získáme transformovanou výslednou kružnici m’, protože je kruhová inverze involucí stačí získanou kružnici opět transformovat, tím získáme výslednou kružnici m.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.18

Při opětovném transformování není třeba provádět dříve uvedenou konstrukci ale stačí zobrazit například dotykové body výsledné kružnici, což je snadné, když víme na jaké kružnici daný bod leží.
Pokud jsou ale zadané kružnice disjunktní, tuto metodu použít nelze. Kruhová inverze ale umožňuje převést dvě disjunktní kružnice na kružnice soustředné.
Konstrukce 3
Sestrojíme chordálu obou kružnic, průsečíkem P chordály a středné daných kružnic vedeme tečny k jedené z kružnic, Sestrojíme kružnici r se středem v bodě P procházející dotykovými body tečen. Libovolně zvolíme jeden z průsečíků kružnice r se střednou daných kružnic jako střed řídící kružnice S0 druhým průsečíkem bude řídící kružnice z procházet, právě v tomto bodě budou mít středy transformované kružnice.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.19

Důkaz
Kružnice r se středem P protíná kružnice k1, k2 orthogonálně, tato kružnice se zobrazí jako přímka, která bude transformované kružnice k`1, k`2 protínat opět orthogonálně. To znamená, že středy kružnic k`1, k`2 budou ležet na této přímce a zároveň musí oba středy ležet na středné kružnic k1, k2. Kružnice k`1, k`2 mají tedy střed v průsečíku kružnice r se střednou kružnic k1, k2, různého od bodu S0.
Nyní můžeme řešit úlohu kkk takto:
Konstrukce 4
Řídících kružnici zvolíme tak aby dvě ze zadaných kružnic přešly v kružnice soustředné. Poté řešíme užitím MBDV. opět dospějeme k transformovaným výsledným kružnicím, které zpět transformujeme.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 2.20

Tento postup lze použít i v případě, že jen dvě kružnice jsou disjunktní, záleží na vás, který postup zvolíte. Řešení kruhovou inverzí je výhodné chceme-li sestrojit všechna řešení, na rozdíl od předešlých konstrukcí, kde pro každou dvojici řešení volíme jinou osu podobnosti a konstrukci provádíme celkem čtyřikrát, zde dojdeme jedinou konstrukcí ke všem řešením najednou. Toto řešení ale neposkytuje univerzální postup jako například řešení Fouchéovo.

Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská