1. Úvod                      2. Řešení Úloh                      3. Prostorové úlohy                      4. Další                      5. Zdroje
      1.1 Historie            1.2 Pomocné konstrukce 1            1.3 Pomocné konstrukce 2            1.4 Pomocné konstrukce 3            1.5 Kruhová inverze
KRUHOVÁ INVERZE

Zobrazení, se kterými jste se setkali na střední škole nijak významně neměnili podobu zobrazovaných objektů. Shodná zobrazení objekty posouvají, otáčí, nebo překlápí, podobná zobrazení je navíc zmenšují nebo zvětšují, ale nijak nemění jejich tvar. To ale neplatí o kruhové inverzi.
Definice
Je dána řídící kružnice z se středem S0 a poloměrem r. Kruhová inverze je zobrazení, které každému bodu X přiřazuje bod X’ polopřímky S0X tak že platí

(5)            

Bod S0 nemá obraz definován.
Někdy také říkáme že bod S0 se zobrazí jako nevlastní bod roviny.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.16

Z definice vidíme, že body kružnice z jsou samodružné a žádné další samodružné body neexistují. Dále vidíme, že leží-li bod uvnitř kružnice zobrazí se do její vnější oblasti a naopak. Je také vidět, že jeli bod X’ obrazem bodu X pak bod X je obrazem bodu X’, v tomto smyslu říkáme, že kruhová inverze je involucí.
Leží-li bod X vně kružnice z vedeme z bodu X tečnu ke kružnici z, dotykovým bodem T vedeme kolmici k S0X, bod X’ je patou této kolmice. Správnost konstrukce plyne z Euklidovy věty o odvěsně. Leží-li bod X uvnitř kružnice z postupujeme opačně:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.17

Obrazem přímky p, procházející bodem S0, je zřejmě táž přímka až na bod S0. Jak se ale zobrazí přímka, která tímto bodem neprochází?
Věta 5
Obrazem libovolné přímky p, která neprochází středem S0 řídící kružnice z, je kružnice p’ s průměrem S0P’, kde P’ je obraz paty kolmice sestrojené z bodu S0 na přímku p. Bod S0 není obrazem žádného bodu přímky p.


                                         Obr. 1.18

Důkaz
Podle obrázku a z definice kruhové inverze vyplývá:

Podle věty sus je trojúhelník S0A’C’ podobný trojúhelníku S0CA. Vrchol A’ tedy odpovídá vrcholu C takže bod X’ leží na Thaletově kružnici s průměrem S0C’. Pro libovolný bod B’ kružnice p’ podle věty uu platí, že trojúhelník S0C’B’ je podobný trojúhelníku S0CB. opačnou úpravou rovnice dostaneme vztah z definice kruhové inverze a bod B je tedy bodem přímky p.
Protože je kruhová inverze involucí, platí i obráceně:
Věta 6
Obrazem libovolné kružnice k, která prochází středem S0 řídící kružnice, je přímka k’, která středem S neprochází. Střed S nemá obraz definován
Umíme tedy sestrojit obraz Bodu, přímky a kružnice procházející středem S0 v kruhové inverzi. Co je obrazem kružnice k, která středem S0 řídící kružnice neprochází?
Věta 7
Obrazem kružnice, která středem řídící kružnice neprochází, je kružnice, která středem řídící kružnice také neprochází.


                                            Obr. 1.19

Důkaz
Podle obrázku a užitím mocnosti m bodu S0 ke kružnici k můžeme psát:

Můžeme tedy považovat bod C’ za obraz bodu C1 ve stejnolehlosti se středem S0 a koeficientem r2 / |m| . Probíhá-li bod C kružnici k, probíhá kružnici k i bod C1 a jejím obrazem je tedy také kružnice.
Přirozený způsob sestrojit obraz středu kružnice a jednoho jejího bodu nelze uplatnit, sami si můžete ověřit, že obraz středu kružnice a střed obrazu kružnice nejsou totožné. Sestrojíme tedy obraz průměru kružnice AB:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.20

Zjistěme nyní, kdy je kružnice k samodružná. Zřejmě je kružnice k samodružná, je-li totožná s řídící kružnicí z. Vidíme že společné tečny kružnic k, k’ procházejí bobem S0. K sestrojení obrazu by tedy stačilo sestrojit obraz dotykového bodu tečny vedené z bodu S0 ke kružnici k, pokud je tento dotykový bod samodružný, je samodružná i kružnice k. Můžeme vyslovit další větu:
Věta 8
Je dána řídící kružnice z se středem S0, kružnice k je samodružná jsou-li její průsečíky s kružnicí z zároveň dotykovými body tečen vedených ze středu řídící kružnice S0 ke kružnici k.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.21

V této souvislosti uvedeme ještě jeden pojem.
Definice
Jsou-li k1, k2 kružnice, protínající se v bodech A, B, pak velikost úhlu těchto dvou kružnic je rovna velikosti úhlu tečen, těchto dvou kružnic, v bodě A, totéž zřejmě platí i pro bod B. Je-li tento úhel pravý říkame že kružnice k1 protíná kružnici k2 orthogonálně a naopak, protíná-li kružnice dané kružnice pod stejným úhlem úhel říkáme, že tato kružnice je izotomická a to i v případě, že se daných kružnic dotýká. Stejně chápeme i úhel kružnice a přímky.
Pro lepší představu, jak kruhová inverze transformuje rovinu, vidíte na následujícím obrázku šachovnici před a po zobrazení kruhovou inverzí, řídící kružnice je vyznačena modře.

      
obr.1.22

Sami si můžete například zkusit zobrazit trojúhelník v kruhové inverzi.
Nakonec vyjádříme kruhovou inverzi analyticky. Zavedeme soustavu souřadnic Oxy, střed řídící kružnice S0 umístíme do počátku. Označíme x, y resp. x’, y’ souřadnice bodu X resp. X’. Podle definice kruhové inverze platí:

Víme že body X a X’ leží na polopřímce, začínající v počátku O, můžeme tedy psát:

Vyjádřením x’ a y’ ze soustavy rovnic dostáváme


(6)            



Pokud by střed řídící kružnice neležel v počátku, označíme S0[m, n] a užitím posunutí dostáváme


(7)            



Nyní můžeme přejít ke konkrétním řešením Apolloniových úloh.

Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská