1. Úvod                     2. Řešení Úloh                     3. Prostorové úlohy                     4. Další                     5. Zdroje
      3.1 Úvod         3.2 BBBB         3.3 BBBR         3.4 BBRR         3.5 BRRR         3.6 RRRR         3.7 Kulové plochy 1         3.8 Kulové plochy 2
KULOVÉ PLOCHY - ZAVEDENÍ POJMŮ

Úlohy s kulovými plochami již nebudeme řešit v mongeově promítání, ale pouze stereometricky. Při řešení budeme vycházet z fouchéova řešení. Nejprve musíme zavést několik pojmů a zobecnit potřebné planimetrické věty na věty stereometrické. Často budeme využívat osové souměrnosti dvojice kulových ploch a rovin souměrnosti, které procházejí osou soměrnosti těchto ploch.
Definice
Úhel dvou kulových ploch je úhel dvou různoběžných kružnic, které vzniknou, jako řezy rovinou souměrnosti těchto ploch.


                                                         Obr. 3.12

Definice
Izotomická kulová polocha je kulová plocha, která svírá s jinými kulovými plochami stejný úhel
Definice
Mocnost bodu M ke kulové ploše se středm A a poloměrem r je číslo m = |MA|2 - r2.
Definujeme ji tedy stejně jako mocnost bodu ke kružnici. Na následujícím obrázku vidíme, že stejně jako u kružnice platí, že mocnost je rovna druhé mocnině délky tečny, nebo součinu |MR||MS|.

                                                                      Obr. 3.13

Nyní nás bude zajímat množina bodů, které mají ke dvěma kulovým plochám stejnou mocnost - tedy obdoba chordály dvou kružnic. Pokud Sestrojíme rovinu, procházející středy obou kulových ploch, pak tato rovina protne kulové plochy v kružnicích se středy a poloměry totožnými se středy a poloměry kulových ploch. Chordála ch1 těchto dvou kružnic leží v rovině řezu a protíná spojnici středů kulových ploch v bodě C a je na ni kolmá. Pokud nyní zvolíme jinou rovinu procházející středy kulových ploch dostaneme jinou chordálu ch2, která také prochází bodem C a také je kolmá ke spojnici středů kulových ploch. Všechny takovéto chordály leží v jedné rovině , kolmé ke spojnici středů kulových ploch. Uvažujme bod P, který neleží v této rovině a má k oběma kulovým plochám stejnou mocnost. Vedeme-li rovinu bodem P a středy kulových ploch, protne nám kulové plochy v kružnicích, ke kterým má bod P stejnou mocnost, což ale není možná, neboť neleží na chordále těchto dvou kružnic.

                                              Obr. 3.14

Definice
Chordální rovina je množina všech bodů, které mají k dvěma kulovým plochám stejnou mocnost.
Uvažujme tři kulové plohchy , , . Nyní budeme hledat množinu všech bodů, které mají ke těmto třem kulovým plochám stejnou mocnost. Sestrojme rovinu , procházející středy kulových ploch. Každá dvojice kulových ploch má chordální rovniu , kolmou k rovině . Rovina protíná kulové plochy v kružnicích, které mají potenční střed P. Bod P zřejmě leží ve všech chordálních rovinách , což znamená, že chordální roviny mají společnou průsečnici ch, kolmou k rovině .

                                                                    Obr. 3.15

Definice
Chordála tří kulových ploch je množina všech bodů, které mají ke třem kulovým plochám stejnou mocnost.
Pokud budeme dále mluvit o chordále, půjde zpravidla o chordálu tří kulových ploch.
Při dokazování Věty 1, o ose podobnosti, jsme zároveň dokázali existence osy podobnosti tří kulových ploch.
Definice
Přímka, na které leží tři středy stejnolehlosti daných tří kulových ploch, se nazývá osa podobnosti.
Tato osa zřejmě leží v rovině středů kulových ploch.
Uvažujme čtyři kulové plochy , , , a jejich vnější středy stejnolehlosti E12, E13, E14, E23, E24, E34. Každá trojice kulových ploch má osu podobnosti, na které leží tři středy stejnolehlosti. Každá trojice kulových ploch má s každou jinou trojící společné práve dvě kulové plochy, jejichž středem stejnolehlosi prochází osy podobnosti obou trojic. To znamená, že každé dvě osy podobnosti jsou různoběžné a leží tedy v jedné rovině. V této rovině zřejmě leží i všechny středy stejnolehlosti.
Definice
Rovina, ve které leží šest středů stejnolehlosti daných čtyř kulových ploch , je rovina podobnosti.



Obr. 3.16


Pokud zvolíme tři osy podobnosti takové, že procházejí dvěma vnitřními středy stejnolehlosti a čtvrtou osu, procházející třemi vnějšími středy stejnolehlosti, dostaneme jinou rovinu podobnosti. Ke každé ose, procházející vnějšími středy stejnolehlosti existuje jedna rovina podobnosti, která prochází třemi vnitřními středy stejnolehlosti. Existují tedy čtyři různé roviny podobnosti, procházející třemi vnitřními a třemi vnějšími středy stejnolehlosti.

                                                                                  Obr. 3.17

Všiměme si, že v prvním případě leželi všechny kulové plochy ve stejném poloprostoru ohraničeném rovinou podobnosti. Ve druhém případě ležela jedna kulová plocha v opačném polopraostoru než ostatní. Zbývá ještě případ, kdy v každém poloprostoru leží dvě kulové plochy. V takovém případě prochází rovina podobnosti čtyřmi vnitřními a dvěma vnějšími středy stejnolehlosti. Existuje šest různých dvojic kulových ploch, vždy dvě nám ale určují tutéž rovinu podobnosti (např. , a , ), existují tedy tři různé roviny podobnosti, procházející čtyřmi vnítřními a dvěma vnějšími středy stejnolehlosti.

                                                                                  Obr. 3.18

Celkem tedy existuje osm různých rovin podobnosti.
Definice
Označme E resp. I vnější resp. vnitřní střed stejnolehlosti dyných kulových ploch , . Nechť přímka procházející bodem E nebo I protíná kulovou plochu ve dvou bodech K1,L1 a kulovou plochu v bodech K2, L2. Říkáme že bod K2 stejnolehlý s bodem L1 je inversně sdružený s bodem K1
Vidíme, že definice je analogická defini bodů invesně sdružených u kružnic.
Věta 23
Protíná-li kulová plocha dané dvě kulové plochy , v bodech inversně sdružených, pak je izotomická.
Důkaz
Rovina středů kulových ploch prochází středem stejnolehlosti a protíná kulové plochy , , po řadě v kružnicích k1, k2, m. Úhely kulových ploch jsou rovny úhlům těchto kružnic a věta tedy přímo vyplývá z věty 18.
Dodejme, že do množiny izotomických kulových ploch patří i kulové plochy, které se daných ploch dotýkají.

                                                                      Obr. 3.19

Věta 24
Vnější střed stejnolehlosti dvou daných kulových ploch , má ke všem izotomickým kulovým plochám stejnou mocnost a leží tedy v chordální rovině kulových ploch , .
Důkaz
Stejnou úvahou zjistíme, že věta přímo vyplývá z věty 19 resp. z věty 12.
Nyní již máme potřebné znalosti k nalezení kulové plochy, které se dotýká daných čtyř kulových ploch.

Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská