1. Úvod                     2. Řešení Úloh                     3. Prostorové úlohy                     4. Další                     5. Zdroje
      3.1 Úvod         3.2 BBBB         3.3 BBBR         3.4 BBRR         3.5 BRRR         3.6 RRRR         3.7 Kulové plochy 1         3.8 Kulové plochy 2
KULOVÉ PLOCHY - ŘEŠENÍ

Hledáme kulovou plochu , která se dotýká daných čtyř kulových ploch , , , . Nejprve sestrojíme rovinu podobnosti , podle věty 23 sestrojíme libovolnou izotomickou kulovou plochu `. V rovině podobnosti leží šest sředů stejnolehlosti, které mají podle věty 24 stejnou mocnost ke všem kulovým plochám `, rovina podobnosti je tedy společnou chordální rovinou všech kulových ploch `, mezi které patří i výcsledná kulová plocha . Dále sestrojíme chordální rovinu kulových ploch ` a libovbolné další kulové plochy (my zvolíme kulovou plochu ).


Obr. 3.20


Průsečnice ch rovin a má stejnou mocnost ke kulové ploše jako k výsledné kulové ploše . To znamená, že společná tečná rovina kulových ploch a prochází průsečnicí ch. Stačí tedy sestrojit tečnou rovinu kulové plochy , která prochází prímokou ch, dotykový bod T2 této roviny je zároveň dotykovým bodem výsledné kulové plochy . Užitím stejnolehlosti najdeme ostatní dotykové body.


Obr. 3.21


Konstrukce 5
Sestrojíme rovinu podobnosti a izotomickou kulovou plochu `. Dále sestrojíme chordální rovinu kulových ploch ` a a její průsečnici ch s rovinou . Průsečnicí ch vedeme rovinu , tečnou ke kulové ploše , její dotykový bod označme T2. Najdeme body T1, T3, T4, inversně sdružené s bodem T2. Tyto body určují výslednou kulovou plochu .
Existují dvě různé tečné roviny , procházející přímkou ch. Pro kažou z nich dostávám jinou kulovou plochu . Druhé řešení zobrazune následující obrázek.

                                                                               Obr. 3.22

Existuje osm různých os podobnosti, pro každou z nich dostáváme dvě různá řešení, celkem tedy existuje 16 kulových ploch, které se dotýkají daných čtyř kulových ploch. Zvláštních případů, kdy se některé kulové plochy dotýkají nebo protínají je tolik, že nebudeme přesně všechny vysvětlovat. Úloha má nekonečně mnoho řešení, nebo má sudý počet řešení (nejméně 2, nejvýše 16), nebo nemá řešení.
Ve zvláštních případech, kdy jsou některé kulové ploch naharazeny rovinami nebo body, postupujeme stejně jako v obecném případě. Rovinu , resp. bod považujeme za kulovou plochu s nekonečně velkým , resp. nulovým poloměrem. Potřebujeme tedy vědět, jak v těchto případech sestrojit střed stejnolehlosti a chordální rovinu. Jde vlastně jen o zobecnění situace z roviny do prostoru, opět si tedy stačí uvědomit, že následující situace jsou osově souměrné a mají nekonečně mnoho rovin souměrnosti, které procházejí osou souměrnosti.
Věta 25
Je-li dán bod a kulová plocha, pak cordální rovina půlí tečny vedené z daného bodu ke kulové ploše, oba středy stejnolehlosti splývají s daným bodem. Pokud bod leží na kulové ploše, pak je chordální rovina zároveň tečná ke kulové ploše.
Následující obrázek zobrazuje i situaci v rovině, ze které díky souměrnosti tato věta vyplývá.

                                                Obr. 3.23

Další věty jsou také analogické případům v rovině.
Věta 26
Je-li dána rovina a kulová plocha, pak chordální rovina splývá s danou rovinou a středy stejnolehlosti jsou průsečíky kolmice, spuštěné ze středu kulové plochy na danou rovinu, s danou kulovou plochou, společné tečné roviny jsou rovnoběžné s danou rovinou, které se dotýkají v nevlastní přímce.
Věta 27
Je-li dán bod a rovina, pak chordální rovina splývá s danou rovinou, oba středy stejnolehlosti splývají s daným bodem.
Věta 28
Jsou-li dány dva body, pak chordální rovina je rovinou souměrnosti těchto bodů, vnitřní střed stejnolehlosti je středem úsečky určené danými body, vnější střed je nevlastní bod přímky určený těmito body.
Věta 29
Jsou-li dány dvě roviny, pak chordální rovina je rovinou souměrnosti těchto rovin, středy stejnolehlosti určit nelze.


Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská