1. Úvod                     2. Řešení Úloh                     3. Prostorové úlohy                     4. Další                     5. Zdroje
        4.1 Soddy circles               4.4 Packing               4.5 Umění               4.6 Mascheroniovské konstrukce
GEOMETRIE BEZ PRAVÍTKA

Každou geometrickou konstrukci, kterou lze provést pravítkem a kružítkem, lze provést samotným kružítkem. Tímto výrokem a následně jeho důkazem překvapil roku 1797 Lorenzo Mascheroni matematický svět. Stejnou větu dokázal již roku 1672 Georg Mohr, ale jeho práci nebyla věnována pozornost, proto dnes mluvíme o konstrukcích mascheroniovských.
Věta 30
Každou geometrickou konstrukci, kterou lze provést pravítkem a kružítkem, lze provést samotným kružítkem.
Důkaz
Rýsování pravítkem a kružítkem není nic jiného než sestrojování průsečíků dvou přímek daných dvěma body, přímky a kružnice a dvou kružnic. Stačí tedy dokázat, že pomocí kružítka umíme sestrojit průsečík dvou přímek, průsečíky přímky a kružnice a průsečíky dvou kružnic.
Je zřejmé, že pouhým kružítkem lze sestrojit průsečíky dvou kružnic.
Nyní budeme chtít sestrojit průsečíky přímky a = AB a kružnice k(S, r). Budeme rozlišovat případ, kdy přímka neprochází středem kružnice a případ kdy je přímka určena bodem A a středem kružnice, tedy B = S. Nejdříve vyřešíme první případ.

                                     Obr. 4.32

Podle obrázku zobrazíme kružnici k v osové souměrnosti s osou a, průsečíky kružnic k a k' jsou hledané průsečíky.
K řešení druhého případu je třeba umět pomocí kružítka rozpůlit daný kružnicový oblouk.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.33

Nejprve sestrojíme body C, D, pro které platí |CS| = |DS| = |AB|, dále sestrojíme bod E, pro který platí |EC| = |CB| a |DE|=|DA|. Pro středy P, Q kružnicových oblouků pak platí |CP| = |CQ| = |SE|.
Správnost konstrukce dokážeme pomocí následujícího obrázku.

                                          Obr. 4.34

Poloměr kružnice zvolme r = 1 a označme |AB| = 2s, y konstrukce bodu C vidíme, že platí |BC|=|AS|, |CS|=|AB| a čtyřúhelník ABCS je tedy kosodélník. Podle Pythagorovy věty vyjádříme délku úhlopříčky |CB|, délku úsečky |SE| a dálku úsečky |CQ|. Vidíme, že skutečně platí |CQ| = |SE| a díky osové souměrnosti také |CP| = |SE|, tím je správnost konstrukce dokázána.
Při řešení druhého případu sestrojíme kružnici se středem v bodě A tak aby protínala danou kružnici k, dostaneme kružnicové oblouky, jejichž středy jsou hledanými průsečíky P, Q.

                                        Obr. 4.35

Zbývá uvést konstrukci průsečíku dvou přímek, k tomu budeme potřebovat několik pomocných konstrukcí. Budeme potřebovat rozpůlit danou úsečku.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.36

Správnost konstrukce dokážeme na následujícím obrázku

                                              Obr. 4.37

Zřejmě platí |FE| = |AE| = 2|AB| = 2r. Z konstrukce bodu S vidíme, že |AF| = |SF| = r, proto jsou vyznačené úhly shodné a trojúhelníky AEF a AFS jsou podobné, odtud přímo vyplývá |AS| = |AF| / 2 = r / 2.
Dále budeme potřebovat sestrojit patu kolmice vedené daným bodem k dané přímce. Na následujícím obrázku je zobrazena konstrukce paty kolmice spuštěné z bodu C na přímku AB

                             Obr. 4.38

Podle obrázku zobrazíme bod C v osové souměrnosti s osou AB, hledaná pata kolmice L je pak středem úsečky CC'.
Budeme také potřebovat sestrojit čtvrtou geometrickou úměrnou tj. délku x pro kterou platí:

Konstrukci zobrazuje následující applet.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.39

Obsah trojúhelníka ABC můžeme vypočítat dvěma způsoby, z jejich rovnosti vyplývá správnost konstrukce.

Nyní již můžeme sestrojit průsečík dvou přímek podle následujícího obrázku.

                                   Obr. 4.40

Podle Euklidovy věty platí

Stačí tedy sestrojit vzdálenost |MP|, pro kterou platí

tj. čtvrtou geometrickou úměrnou.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.41

Tím je věta 30 dokázána.

Dále uvedeme, již bez důkazu, dvě dalších mascheroniovské konstrukce:
- Sestrojení čtverce, je-li dána jedna jeho strana:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.42

- Řešení úlohy BBB

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 4.43



Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská