1. Úvod                     2. Řešení Úloh                     3. Prostorové úlohy                     4. Další                     5. Zdroje
        4.1 Soddy circles               4.4 Packing               4.5 Umění               4.6 Mascheroniovské konstrukce
Packing je odvětví matematiky, které se zabývá "balením" dvou i vícerozměrných objektů do určitého prostoru a to tak aby se žádné dva objekty nepřekrývali a zároveň aby se sousední objekty dotýkali. Nejčastěji "balenými" objekty jsou kružnice a koule.

CIRCLE PACKING - "BALENÍ KRUŽNIC"

Nejzákladnější úlohou je pokrýt rovinu kružnicemi o stejném poloměru. Samozřejmě existuje nekonečně mnoho způsobů pokrytí. Na následujícím obrázku vidíte dvě nejzákladnější struktury pokrytí. Čtvercová síť (vpravo) a šestíúhelníková síť (vlevo).

                                                                             Obr. 4.6

Nyní nás bude zajímat, kteé s těchto dvou pokrytí je efektivnější, tj. které pokrývá větší část roviny. U čtvercové sítě můžeme každé kružnici opsat čtverec tak, že se žádné dva nepřekrývají a zároveň pokrývají celou rovinu, nyní již snadno zjistíme, že čtvercová síť pokrývá 78,54 % roviny. Stejně tak můžeme u šestiúhelníkové sítě opsat každé kružnici šestiúhelník, tato struktura pokrývá rovinu z 90,69 % a je tedy podstatně efektivnější, než čtvercová struktura. Roku 1940 dokázal L. Fejes Tóth, že šestiúhelníková struktura je neefektivnější ze všech možných (i nepravidelných) struktur.
Circle packing se také často zabývá balením kružnic do kružnice, čtverce a dalších objektů. Zde je dán odjekt a počet kružnic, které do něho máme zabalit. Naším úkolem je zjistit, jaký největší stejný poloměr mohou tyto kružnice mít. Následující obrázek zobrazuje balení kružnic do kružnice o poloměru 1. V tabulce jsou zapsány poloměry vepsaných kružnic.

                                                         Obr. 4.7

Počet kružnic 1 2 3 4 5 6 7 8 9
poloměr 1 0,5 0,464 0,414 0,37 0,333 0,333 0,303 0,277

V druhém případě budeme kružnice balit do čtverce.

                                                  Obr. 4.8

Počet kružnic 1 2 3 4 5 6 7 8 9
poloměr 1 0,586 0,509 0,5 0,414 0,375 0,349 0,341 0,333

Stejně tak bychom mohli kružnice balit do trojúhelníku, pětiúhelníku a dalčích objektů. Můžete například zkusit rozhodnout příp. dokázat, které z následujících dvou uspořádání je výhodnější při balení tří kružnic do pětiúhelníku.

                                                                       Obr. 4.9

Tak jako v každám odvětví matematiky existuje i zde mnoho nevyřešených problémů. Jedním z nich je najít nejmenší čtverec takový, aby do něho bylo možné zabalit dva kruhy o stejném daném poloměru, kdy jeden z nich je libovolně rozdělen na dvě kruhové úseče, viz následující obrázek.

                             Obr. 4.10


SPHERE PACKING - "BALENÍ KOULÍ"

Stejně tak, jako jsme blaili kružnice, se často balí koule, resp. kulové plochy. Zde je podobně jako u kružnic jednou ze základních úloh nají co nejvýhodnější uspořádání koulí v prostoru, tedy takové, aby mezi koulemi zbylo co nejméně místa. Tento problém je známý jako problém skladování koulí. Historie tohoto problému sahá již do 17. století, kdy se jím zabýval J. Kepler, přesto však zůstává mnoho podstatných otázek nevyřešených. My zmíníme jen některá pravidelná uspořádání. K výpočtu jejich hustoty je potřeba opsat koulím mnohostěn, který dokonale vyplní prostor, takový, že se žádné dva útvary nepřekrývají. Postupujeme tedy obdobně jako v rovině.
Následující obrázek zobrazuje krychlové uspořádání, které má hustotu přibližně 53,26 % (koulím opisujeme krychle). Vidíme, že toto uspořádání je velice nevýhodné.

                             obr. 4.11

Na dalším obrázku vidíme stěno-středové krychlové uspořádání, které má hustotu přibližně 60,46% (koulím ospisujeme hranoly se šestíúhelníkovou podstavou). Vidíme tedy, že je o něco výhodnější než předchozí uspořádání.

                                   Obr. 4.12

Další obrázek zobrazuje šestiúhleníkové uspořádání.

                                   Obr. 4.13

V tomto případě tvoří vrstvy šestiúhleníkovou síť. Koule druhé vrstvy jsou umístěne v důlkách první vrstvy, každá koule druhé vrstvy se dotýká třech koulí první vrstvy. Třetí vrstvu můžeme vytvořit dvěma různými způsoby, viz následující obrázek (vrstvy jsou po řadě vyznačeny modrou, zelenou a červenou barvou).

Obr. 4.14                   


V prvním případě (vlevo) jsou koule třetí vrstvy umístěny přímo nad koulemi první vrstvy, ve druhém případě (vpravo) k tomuto vyrovnání nedochází a nad koulemi první vrstvy jsou umístěny až koule čtvrté vrstvy. Na následujícím obrázku vidíte dvanáctistěn, který opisujeme krychlím v prvním případě, je tvořen šesti lichoběžníky a šesti kosočtverci.

                                   Obr. 4.15

Mnoho stěn ve druhém případě nemá horní a dolní část souměrnou, ale tyto části jsou vzájemně pootočené o 60 stupňů, tak že stěny tohoto mnohostěnu jsou kosočtverce. Oba případy mají tutéž hustotu 74,04 %. Na dalším obrázku vídíme uspořádání, jehož spodní vrstva tvoří čtvercovou síť a koule dalších vrstev jsou vždy v důlkách předchozí vrstvy.

                                   Obr. 4.16

Ačkoliv to na první pohled nevypadá, je tot uspořádání totožné s prvním případem šestiúhelníkového uspořádání, boční stěna tohoto uspořádání je první vrstvou šestiúhelníkového uspořádání a toto uspořádání má tedy také hustotu 74,04 %.
K. F. Gauss dokázal, že poslední uspořádání, je nejefektivnější, ze všech pravidelných uspořádání. Dodnes však nevíme, jestli existuje nějaké efektivnější nepravidelné uspořádání, zatím se podařilo dokázat, že žádné uspořádání nemůže mít hustotu větší než 77,836 %.
Na závěr ukážeme jeden paradoxní příklad. Uvažujme čtverec o straně 4, do něho vepíšeme čtyři kružnice s poloměrem 1 a mezi ně vepíšeme další kružnici, viz následující obrázek. Podle pythagorovy věty zjistíme, že vnitřní kružnice má poloměr .

                               Obr. 4.17

Nyní vyřešme stejný příklad v prostoru. Do krychle o hraně 4 vepíšeme osm kulových ploch s poloměrem 1 a mezi ně vepíšeme další kulovou plochu.

                                           Obr. 4.18

Pro její poloměr paltí analogicky . A obecně pro n-rozměrný případ platí . Všiměme, si, že pro n = 4 už má vnitřní hyperkoule stejný poloměr, jako hyperkoule vepsané hyperkrychli . Pro n = 9 se vnitřní hyperkoule dotýká stěen krychle a pro n > 9 vnitřní hyperkoule dokonce prochází stěnami hyperkrychle.

Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2009
4.M, SPŠST Panská