POLÁRA

Věta
Polára bodu vzhledem ke kružnici je přímka.
Důkaz
Zavedeme souřadný systém Oxy tak, že střed S kružnice m leží v počátku a bod P[ p, 0] leží na ose x, poloměr kružnice m můžeme bez újmy na obecnosti zvolit r = 1 viz obrázek.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Důkaz provedeme pro poláru bodu P vzhledem ke kružnici m. Pro průsečík Q0[ q, 0] poláry s osou x platí
.
Po úpravě dostáváme
.
Dále označme a přímku procházející bodem P. Rovnoběžné promítání zachovává dělicí poměr, proto můžeme počítat jen se souřednicemi na ose x. Označme x1, x2 souřednice průsečíků přímky a s kružnicí m. Souřadnice x1, x2 vyjádříme obecně pomocí soustavy rovnic.
Nyní vyjádříme dělicí poměr bodu P vzhledem k průsečíkům přímky a s kružnicí m(opět budeme počítat jen se souřadnicemi na ose x)

Totéž provedem pro souřadnici q

Dělicí poměry by se od sebe měly lišit pouze znaménkem

Vylučme nyní případ, kdy přímka a je tečnou kružnici m, pak jsou oba dělicí poměry definovány a můžeme rovnici vynásobit jmenovateli obou zlomků. Nyní upravíme obě strany rovnice zvlášť

Z posledního výrazu je již zřejmé, že obě strany rovnice se liší pouze znaménkem a věta je tedy dokázána.
Tento důkaz lze pomocí osové afinity použít i pro elipsu, osová afinita zachovává dělicí poměr bodu na přímce a tedy i dvojpoměr čtyř bodů viz následující obrázek.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Pomocí projektivní transformace lze důkaz uplatnit obecně na všechny regulární kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola), projektivní transformace zachovává dvojpoměr čtyř bodů, regulární kuželosečka přejde v regulární kuželosečku (např. kružnice přejde v hyperbolu) a singulární kuželosečka přejde v singulární kuželosečku stejného druhu (např. přímka přejde v prímku).



Jiří Vančura
2007/2008
3.M, SPŠST Panská