1. Úvod                      2. Řešení Úloh                      3. Prostorové úlohy                      4. Další                      5. Zdroje
      1.1 Historie            1.2 Pomocné konstrukce 1            1.3 Pomocné konstrukce 2            1.4 Pomocné konstrukce 3            1.5 Kruhová inverze
POMOCNÉ KONSTRUKCE 1

Stejnolehlost
Se stejnolehlostí jsme se seznámili na střední škole, doplníme naše znalosti o jeden pojem:
Definice
Označme E resp. I vnější resp. vnitřní střed stejnolehlosti kružnic k1, k2. Nechť přímka procházející bodem E nebo I protíná kružnici k1 ve dvou bodech A1,B1 a kružnici k2 v bodech B2, A2. Říkáme že bod A2 stejnolehlý s bodem B1 je inversně sdružený s bodem A1
Body inverzně sdružené zobrazuje následující aplet:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.1


Osa podobnosti
Věta 1 (Mongeova)
Jsou-li k1, k2, k3 kružnice s nekolineárními středy a různými poloměry, pak jejich tři vnější středy stejnolehlosti leží v přímce a každé dva vnitřní středy a jeden vnější leží v přímce.
Důkaz této věty lze provést algebraicky anebo vhodnou prostorovou představou, my zvolíme druhý způsob.
Důkaz
Nad každou kružnicí sestrojíme kulovou plochu, která má střed ve středu kružnice a poloměr rovný poloměru kružnice, středy stejnolehlosti těchto kulových ploch jsou totožné se středy stejnolehlosti kružnic a leží tedy v rovině kružnic. Sestrojme společnou tečnou rovinu kulových ploch tato rovina prochází buď třemi vnějšími středy stejnolehlosti, nebo dvěma vnitřními a jedním vnějším středem stejnolehlosti, tyto středy leží tedy v rovině kružnic i v rovině tečné a musí tedy ležet na jejich průsečnici, dokázali jsme tedy že jsou kolineární.
Dodejme, že existuje 8 různých tečných rovin, které jsou vždy po dvou souměrné podle roviny kružnic.
Definice
Přímka, na které leží tři středy stejnolehlosti daných tří kružnic, se nazývá osa podobnosti.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.2


Chordála, potenční střed
Chordála bude v našich konstrukcích velmi důležitým prvkem. Proto ji uvádíme zvlášť i když by mohla být zařazena do MBDV viz. dále.
Definice
Chordála je množina všech bodů které mají ke dvěma daným kružnicím stejnou mocnost
Víme tedy co je chordála ale nevíme jak vypadá, analyticky ukážeme, že chordála je přímkou:
Důkaz
Označme O1, O2 středy daných kružnic, r1, r2 jejich poloměry a M bod, který náleží chordále. Nyní zavedeme soustavu souřadnic Oxy tak, že bod O1 leží v počátku O a bod O2 leží na ose x. Dále označme s vzdálenost bodů O1, O2 a xM, yM souřadnice bodu M. Pro bod M platí:

Získali jsme předpis, pro přímku kolmou k ose x, a dokázali jsme tedy, že chordála je přímka kolmá ke spojnici středů O1, O2.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.3

Známe tedy směr chordály, to znamená že k jejímu sestrojení nám postačí jeden její bod. Pokud mají kružnice společný bod pak ním chordála prochází neboť tento bod má k oběma kružnicím mocnost 0. Pokud jsou kružnice disjunktní můžeme užít následující konstrukci. Z definice chordály plyne, že tečny z bodu chordály k daným kružnicím jsou stejně dlouhé. Potřebný bod tedy získáme rozpůlením společné tečny obou kružnic:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.4

Pokud ale jedna kružnice leží uvnitř druhé nemůžeme použít žádnou z uvedených konstrukcí, nyní potřebuje k sestrojení znát pojem potenční střed:
Definice
Potenční střed je bod, který má ke třem daným kružnicím stejnou mocnost.
Je tedy zřejmé, že potenčním středem prochází chordála každé dvojice kružnic. Při konstrukci chordály dvou kružnic tedy sestrojíme třetí pomocnou kružnici která protne zbylé dvě, sestrojíme dvojici chordál, jejich průsečík je potenční střed kterým prochází i hledaná chordála:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Obr. 1.5



Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2008/2007
4.M, SPŠST Panská