1 Úvod                      2 Řešení Úloh                      3 Prostorové úlohy                      4 Další                      5 Zdroje
      1.1 Historie            1.2 Pomocné konstrukce 1            1.3 Pomocné konstrukce 2            1.4 Pomocné konstrukce 3            1.5 Kruhová inverze
POMOCNÉ KONSTRUKCE 3

Dělící poměr, dvojpoměr, harmonická čtveřice
Definice
Nechť A, B, C, |BC|>0 jsou tři kolineární body, dělícím poměrem bodu C vzhledem k základním bodům A, B rozumíme reálné číslo (ABC), pro které platí:

(2)            


Pokud leží bod C vně úsečky AB je (ABC) > 0.
Pokud je bod C vnitřním bodem úsečky AB je (ABC) < 0.
Je-li A = C pak (ABC) = 0.
Při určování dělícího poměru je důležité zachovat pořadí bodů. V našem případě je dělící poměr důležitý pro další výklad, můžete se s ním setkat například u rovnoběžného promítání, které zachovává právě dělící poměr.
Definice
Nechť A, B, C, D (v tomto pořadí) jsou kolineární body, dvojpoměrem (ABCD) rozumíme poměr dvou dělících poměrů:

(3)            

S dvojpoměrem se můžete setkat u středového promítání, které jej zachovává. Při jeho určování je opět nezbytné zachovat pořadí bodů.
Definice
Body A, B, P, Q, kdy (ABPQ) = -1 nazýváme harmonickou čtveřicí bodů, říkáme že body P, Q jsou harmonicky sdružené vzhledem k bodům A, B.
Vidíme tedy že pro harmonickou čtveřici bodů A, B, P, Q platí:

(4)            


Tento vztah můžeme užít pro konstrukci bodu Q jsou-li zadány body A, B, P: Bodem A vedeme přímku na ni zvolíme bod B1 a sestrojíme bod P1 tak že BB1 || PP1, dále sestrojíme bod B2 souměrný s bodem B1 podle bodu P1, nakonec sestrojíme bod Q tak že BB2 || P1Q. Konstrukci zobrazuje následující aplet.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
obr.1.11

Správnost konstrukce je zřejmá, neboť |B1P1| = |B2P1| a tedy |B1P1| : |AP1| = |B2P1| : |AP1|.

Pól, Polára
Definice
Nechť je dána kružnice k a bod P, polára kružnice je množina všech bodů Q , pro které platí: přímka PQ protne kružnici k v bodech A, B tak že body P, Q jsou harmonicky sdružené vzhledem k bodům A, B. bod P je pólem poláry vzhledem ke kružnici k.
Doplňme ještě, že polára kružnice je přímka kolmá k přímce PS, kde S je střed kružnice k. Důkaz tohoto je čistě analytický a nepřispívá k pochopení látky, po stránce teoretické je ale nezbytný a proto je uveden zde. Za poláru považujeme celou přímku i v případě že bod P leží vně kružnice k a ne všechny přímky PQ kružnici protnou. Stejně definujeme poláru i pro elipsu, hyperbolu a parabolu a i zde je polára přímkou. k sestrojení poláry nám stejně jako u chordály stačí jeden její bod, můžeme tedy použít konstrukci bodu Q když známe body A, B, P které získáme vedeme li bodem P přímku a to nejlépe přímku PS.
Věta 2
Nechť je dána kružnice k a bod P, je-li p polára kružnice k vzhledem k bodu P, pak všechny poláry q kružnice k vzhledem k libovolnému bodu Q poláry p procházejí bodem P.
Důkaz
Zvolme libovolný bod Q poláry p, přímka PQ protne kružnici v bodech A, B z definice poláry je zřejmé že body P, Q jsou harmonicky sdružené vzhledem k bodům A, B to znamená, že bod P je bodem poláry q. Tím je věta dokázána.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
obr.1.12

Leží-li bod P vně kružnice k můžeme poláru sestrojit tak že z bodu P vedeme tečny ke kružnici k, polára prochází dotykovými body těchto tečen, neboť bod Q musí ležet mezi body A, B které jsou v tomto případě nekonečně blízké. Leží-li bod P uvnitř kružnice k postupujeme opačně. Bodem P vedeme kolmici k přímce PS, v bodech, ve kterých kolmice protne kružnici, sestrojíme tečny a jejich průsečík je bodem Q poláry p.

                                     obr.1.13

Z věty 1 ihned vyplývají další dvě věty:
Věta 3
Je dána kružnice k a tři body P1, P2, P3, jsou-li tyto body kolineární pak poláry p1, p2, p3 procházejí jedním bodem Q který je pólem poláry procházející body P1, P2, P3.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
obr.1.14

Věta 4
Vedeme-li pólem P poláry p libovolnou přímku q, pak její pól Q leží na poláře p.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
obr.1.15



Předchozí kapitola           Následující kapitola



Jiří Vančura
2007/2008
3.M, SPŠST Panská